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Rechenbeispiel: Wie viel kostet mich ein Panini-Sammelbild-Album zur Frauenfußball-WM 2011?

Rechenbeispiel: Wie viel kostet mich ein Panini-Sammelbild-Album zur Frauenfußball-WM 2011? (Wordle) Fußball-WM-Zeit – egal ob Frauenfußball oder Männerfußball – ist auch immer Fußball-Sammelbild-Zeit. Und derzeit gibt es wieder viel zu sammeln: talentierte, sportliche Frauen, Star Wars oder bedrohte Tiere – es gibt fast kein Thema, dass sich nicht dazu eignet, als Sticker in ein Sammelalbum eingeklebt zu werden.
Besonders Kinder haben daran viel Spaß und entwickeln eine große Leidenschaft für ihre Sammelobjekte. Für die Anbieter wie Panini und Co sind Sammelbilder-Serien ein durchaus lukratives Geschäftsfeld. Anlässlich der Frauenfußball-WM analysierte Spiegel Online einmal mathematisch, wie lange man benötigt, um ein Sticker-Album vollzubekommen und welches monetäre Engagement dafür erforderlich ist.

Erst kürzlich sorgte eine Supermarkt-Kette unter Kids für Furore. Sie verschenkte für jeden Einkauf über 10 Euro eine Tüte mit fünf Tierstickern. Dazu konnte ein Sammelalbum der Umweltschutzorganisation WWF käuflich erworben werden. Viele sammelwütige Kinder verlegten daher ihre Freizeit in die Nähe der Supermarktkassen und baten jeden Kunden, ob er ihnen nicht seine Tütchen überlassen würde.

Über 150-jährige Geschichte der Sammelbilder

Doch das Phänomen Sammelbilder ist nicht neu. Es kann auf eine über 150jährige Geschichte zurückblicken. Als erstes überhaupt legte die Firma Stollwerk vor 150 Jahren ihren Schokoladentafeln die ersten Sammelbilder bei. Diese wurden ein Selbstläufer und so wurden Sammelbilder zu einer Art festen Marketingstrategie, der sich sogar Staaten und Systeme bemächtigten. Das dritte Reich verstand es trefflich, den Sammeltrieb der Menschen ebenfalls für Propagandazwecke zu missbrauchen. So war die logische Konsequenz der Goebbels-Strategen beispielsweise das Album „Deutschland erwacht“. Es zeigte Adolf Hitler privat – zumindest so wie ihn die Öffentlichkeit sehen sollte: Ein Picknick auf der Alm oder das Füttern von Rehen sind nur zwei Beispiele für Motive.

Wer in der heutigen Zeit von Sammelbildern hört, denkt fast automatisch an die Firma Panini. Sie verlegt diverse Serien, von denen z. B. die Star Wars-Sticker oder die Fußballalben wohl mit die bekanntesten sein dürften.
Das aktuelle Sticker-Album für die Frauenfußball-WM 2011 kostet den Sammler gut zwei Euro. Eine Sticker-Tüte mit fünf Bildchen wandert für 60 Cent über die Ladentheke. Insgesamt gibt es 335 verschiedene Aufkleber. Da drängte sich jedem, nicht nur Spiegel Online, die Frage auf: Damit ein Album voll wird, wie viele Tüten muss man ungefähr kaufen?

Wieviele Sammelbild-Tütchen müssen gekauft werden, damit ein Sammelalbum voll wird?

Diese Frage lässt sich mit etwas Mathematik beantworten. Und für solche Fälle ist bei Spiegel Online der Numerator zuständig. Bei seinen Rechenaufgaben wird auch der Laie nicht dümmer.
Also … rekapitulieren wir mal die Sachlage:

Es dürfte fast jedem klar sein, dass man sehr wahrscheinlich mehr als 67 Tütchen (335 : 5 = 67) kaufen muss. Denn bereits nach den ersten 10 oder 20 Tütchen hat man die ersten Aufkleber doppelt und dreifach. Doch nicht nur in der Geldbörse sondern auch im Album klaffen trotzdem einige Lücken.

Dem Problem kann man sich mathematisch über die Wahrscheinlichkeitsrechnung nähern. Denn wenn man davon ausgeht, dass die Sammelbilder in den Packungen zufällig verteilt sind, dann kann man das Phänomen wie einen Würfel beschreiben.
Der Einfachheit halber gehen wir zunächst davon aus, dass es insgesamt nur sechs Sammelmotive gibt. Ferner gibt es einen Sammelbildpool, der ins Unendliche geht und aus dem wir die Sammelbilder ziehen können. Jedes der Motive tritt gleich häufig auf.
Jedes Mal, wenn der Käufer zur Tat schreitet und ein Sammelbild kauft, könnte er auch einmal würfeln. Die Chance, das Sammelbild mit der Nummer eins zu ziehen, ist genauso hoch wie beim Würfeln eine Eins zu würfeln.

Mathematisch gesehen würfelt der passionierte Sammler

Mathematisch gesehen entspricht das k-Mal-nacheinander-Würfeln dem Kauf-von-k-Sammelkarten. Soweit so gut. Nun muss die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, wie oft es vorkommt, dass man beim Kartenkauf - respektive Würfeln - eine Zahl erwischt, die man vorher noch nicht hatte. In der ersten Runde ist dies relativ einfach. Da ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis genau 1, denn man hat ja noch nichts vorgelegt. Beim zweiten Würfeln sieht die Sache schon etwas anders aus. Da ist die Wahrscheinlichkeit P=5/6, denn eine Augenzahl wurde ja schon beim ersten Wurf gewürfelt. Durchschnittlich benötigt man 1/p = 6/5 Versuche, um unterschiedliche Augenzahlen zu erhalten. Laut Wahrscheinlichkeitsrechnung macht dies im Durchschnitt 1 + 6/5 = 2,2 Versuche.
Nun hat der Sammelbildfan und Würfler Blut geleckt und möchte eine drittes Motiv. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit 4/6. Im Mittel macht das 1,5 Würfelversuche. Um die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle drei Augen zu berechnen, muss man nun die Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen addieren: 1 + 1,2 + 1,5 = 3,7.
Dieses Prozedere geht so lange weiter, bis man bei der sechsten Augenzahl angelangt ist, die einem zum Sammlerglück noch fehlt.
Die verbliebenen Wahrscheinlichkeiten sind: 3/6 für vier; 2/6 für fünf und 1/6 für 6 verschiedene Augenzahlen. Der Durchschnitt ergibt sich demnach aus folgender Formel:

W6 = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 6 * (1/1 + ½ + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6)

Als Ergebnis kommen durchschnittliche 14,7 Würfelversuche raus. Dies sind doch verblüffend viele Würfe. Ein Würfel hat zwar „nur“ 6 Seiten, aber damit jede Seite einmal oben liegt, muss im Durchschnitt fast 15 Mal gewürfelt werden. Klar gibt es Glückspilze, die nur 8 oder 9 Versuche benötigen. Es gibt bestimmt auch viele Pechvögel, die nach 30 Würfen immer noch keine 6 gewürfelt haben. Macht man aber die Probe aufs Exempel mit Hunderten von Menschen, so wird sich der Mittelwert um 14,7 Würfelversuche einpendeln.

Bei den Sammelbildern oder auch Sammelkarten verkompliziert sich die Sachlage noch ein wenig. Es gibt hier n verschiedene Sammelkarten. Dies entspricht exakt einem Würfel mit n-Seiten. Auch mit ihm, möchte ich jede Augenzahl mindestens einmal würfeln. Dies ergibt folgende Formel:

Nun zum allgemeinen Fall mit n verschiedenen Sammelkarten. Er entspricht einem Würfel mit n Seiten, bei dem ich jede Augenzahl mindestens einmal würfeln möchte. Die Zahl der zu kaufenden Karten wird mit folgender Formel berechnet:

Wn = n*(1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/(n-1) + 1/n)

Was bei dieser Formel in der Klammer steht, wird auch als harmonische Reihe Hn bezeichnet.
Hn berechnet sich demnach wie folgt:

Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/(n-1) + 1/n

Hierfür gibt es leider keine einfache Summenformel. Man kann sich aber eine Näherungsformel über den natürlichen Logarithmus (mit der Basis e=2,71) herleiten.
Zugegeben, spätestens an dieser Stelle bin ich im Mathematik-Unterricht ausgestiegen. Um mit den Worten meiner alten Mathe-Lehrerin zu sprechen. „Der Zug war für mich abgefahren.“ Aber okay, so kurz vor dem Ziel zu kneifen, gilt nicht ;-)
Die Formel mit dem Logarithmus lautet:

Hn = ln(n) + 0,577

Nun kann ausgerechnet werden, wie viele Sammelbilder der Käufer durchschnittlich erwerben muss. Wer also das Frauen-WM-Album vollbekommen möchte, benötigt 335 verschiedene Sticker:

W335 = 335*(ln(335) + 0,577)

Verdammt viele Versuche und deswegen wird es richtig teuer

Das macht sage und schreibe 2141 Versuche und damit Aufkleber. Dies entspricht 429 Tütchen. Damit kommt man im Durchschnitt auf 257,40 €, die zu investieren sind, damit das Album voll wird. Dies ist eine ganz schön happige Summe, die jedes Taschengeld-Budget gewaltig sprengen dürfte. Man sollte auch nicht vergessen, dass vor allem Kinder die Zielgruppe der kleinen Klebebilder sind.
Noch dazu, dass dieser Betrag nur für die perfekte Zufallsverteilung gilt. Doch manche Motive tauchen seltener auf als andere. Damit stimmt diese Rechnung selbstverständlich nicht mehr. Außerdem habe ich bei 2141 Stickern definitiv viele dreifach, vierfach oder sonst wie oft. Die logische Schlussfolgerung daraus: Ich muss zusehen, dass ich mit anderen Sammlern Ware gegen Ware tausche. Da kann man eine Menge Bares sparen. Jedoch werden auch bei dieser Strategie noch immer einige Stellen im Album leer bleiben.

Doch auch für diese Eventualität haben die Werbe-Strategen von Panini für Abhilfe gesorgt. Die Firma bietet einen Nachbestellservice an. 50 fehlende Sticker je Album bzw. pro Personen können nachbestellt werden. Das Stück kostet dann 18 Cent und man muss 2,50 € Porto bezahlen. Schöpft man die Höchstzahl von 50 Stickern ab, so belaufen sich die Kosten auf 11,50 €. Im Vergleich zum Tütchen-Kauf beim Kiosk um die Ecke ist dies ein relativ günstiges Schnäppchen. Wer jetzt auf die Idee kommt, die fehlenden Bilder – aufgeteilt auf 11 Tranchen – im Namen von Oma, Opa, Tanten und Geschwistern zu bestellen, der kommt mit 77,80 € aus der Nummer raus und kann einen Sticker-Komplettsatz sein Eigen nennen.
Selbst diese „Schmuversion“ dürfte für die Firma Panini noch äußerst lukrativ sein.

 


Quellen:

Aktualisiert ( Donnerstag, 02. Februar 2012 um 13:00 Uhr )
 

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